正收益亦不可赌

人们在市场中交易常常对自己的胜率产生错误的估计。其中最常见的错误是一个神奇的数学直觉陷阱：如果一个人每次交易的预期收益都大于零，那么以一定的初始本金入市，连续交易下去，是否最后一定会获得仓位的不断增长？

答案是：不会。

这就有了那句经典的赌场格言：不怕你赚钱，就怕你不玩。

记得看到过一个有趣的例子。有一个按钮，每次按下去，你的资产有一半几率缩水90%，但也有一半几率涨至9倍。想一想每一轮牛熊周期的BTC，牛市顶点到熊市低点缩水八九成，熊市低点到牛市顶点增长八九倍，大概就是类似这种极大的波动性。问题来了：从一定的初始资金开始，你可以任意多次按这个按钮，无限地玩这个游戏。你会玩吗？

有点儿概率知识的朋友掐指一算，这数学期望是50% * 0.1 + 50% * 9 = 4.55倍呀，也就是说，每次按按钮的预期收益率高达355%，当然要疯狂地不停地按按钮啊。

那你就中招了。

我们太习惯用算数平均来思考收益率了。这把我们带进了坑里。

设想我们每周在市场上挑选一个山寨币进行操作。而且我们运气颇好，每次操作的币都有一半概率涨90%，一半概率跌70%。我们略微心算一下，每周的预期收益就是50% * (1+90%) + 50% * (1-70%) - 1 = 10% > 0。每次操作都是all in。每周赚10%，在复利效应的加持下，一年就赚(1 + 10%)^52 - 1 = 142倍。投入10万美元，一年后变成1420万美元，折合成rmb接近A9。

这也是很多冲meme的韭菜们的算数逻辑。

不过梦想很丰满，现实很骨感。实际冲下来，绝大多数韭菜的结局不是赚到A9，而是本金接近归零。

为什么？因为他们算错了。1420万美元是市场的平均回报，但却不是他最可能拿到的回报。

作为一个合格的韭菜，最大的可能性是本金大幅缩水到4.5美分，约等于归零。

每次all in的资金，在一半（26周）的操作中会增长到1.9倍，在另一半（26周）的操作中会缩水为0.3倍，最终10万美元就会变成100000 * 1.9^26 * 0.3^26 = 0.045美元 = 4.5美分。

也就是说，每次操作的平均收益率并不是10%，而是-24.5%。没错，实际上每周预期收益是亏损的。

这叫做几何平均数。

全市场的平均收益虽然高达1420万美元，但是中位收益却只有4.5美分。还有很多倒霉蛋，最后连4.5美分都剩不下。平均收益之所以高达上百万美元，完全是因为极少数头部赢家赚走了特别多的钱！

回想一下，这个数学模型是不是很符合我们观察到的土狗或者meme市场的「KOL单币破亿、万千韭菜亏掉底裤」的冰火两重天的景象？

然后我们回到最初的按钮游戏。读者朋友应该发现了，这个游戏的数学原理，和后面谈到的炒币问题，其实是相通的。

连续按下两次按钮，预期收益率的算数平均数虽然高达正的355%，但是几何平均数却是sqrt(0.1 * 9) - 1 = -5%，是亏损的。

也就是说，如果我们孤注一掷地每次all in，大概率我们会变成一个破产的赌徒（严谨地讲还需假设资产跌到一定程度就会彻底出局），而不是一个财富自由的赢家。

那么，有什么办法能破这个十赌九输的局吗？

方法还是有的。

这个方法就是通过仓位管理，不要all in，而是把下注资金量控制在一个合适的比例上，以此把中位数收益拉回到正数。

合适的比例应该是多少呢？

考察连续两次按下按钮，但每次只下注p比例的资金，那么中位数收益是y = (1 + 8p)(1 - 0.9p)，即一次赚了8p的钱，另一次亏了0.9p的钱。

整理可得：y = -7.2(p - 71/144)^2 + 7921/2880

显然，这个一元二次方程是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在当 p = 71/144 ≈ 49.3% 时，此时中位数收益可以取得最大值 7921/2880 ≈ 2.75倍，即资金会增长为初始本金的2.75倍。

聪明的读者朋友应该已经发现了。这正是凯利公式（的推广形式）。

普通的（输就会输光）的凯利公式是这样子的：下注比例f = 胜率p - 负率q/赔率b

对于按钮游戏，胜率p = 负率q = 50% = 0.5，如果输则输光的话，那么赢的时候的盈利率就叫做赔率b = 净盈利/本金 = (9 - 1)/1 = 8（1赔8），那么下注比例f = 0.5 - 0.5/8 = 0.4375 = 43.75%。

但是按钮游戏输的话并不会输光，而是有一个亏损率90% = 0.9，因此就要用到凯利公式的推广形式：

下注比例f = 胜率p/亏损率a - 负率/盈利率b = 0.5/0.9 - 0.5/8 = 71/144

和上面通过对一元二次方程求最值解出的结果是一样的。

以上这些个小例子，是市场交易中的基本数学知识，也是交易者应该训练养成的直觉，不同于普通人的直觉。